\subsubsection{Übung ix}

\begin{enumerate}[1)]
\item
\(G = H = \text{GF}(p)^k\) mit \(p\) prim und \(k \in \mathbb{N}\), \(A\) eine \(k \:\text{x}\: k\) Matrix mit Einträgen aus \(\text{GF}(p)\).
Folgend wird gezeigt, dass \(\varphi : \left(\begin{smallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_k \end{smallmatrix} \right) \mapsto A \left(\begin{smallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_k \end{smallmatrix} \right)\) ein Homomorphismus ist.

Die Homomorphie-Eigenschaft folgt aus der Art, wie Matrizen und Vektoren multipliziert werden. Detailliert aufgeschlüsselt folgt der Homomorphismus aus
\begin{align*}
 \varphi(x + y)
 &= A \left(
 \begin{pmatrix}
  x_1\\
  x_2\\
  \vdots\\
  x_k
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
  y_1\\
  y_2\\
  \vdots\\
  y_k
 \end{pmatrix}
 \right)\\
 &=A  \begin{pmatrix}
  x_1 + y_1\\
  x_2 + y_2\\
  \vdots\\
  x_k + y_k
 \end{pmatrix}\\
 &= \begin{pmatrix}
  a_{1,1} (x_1 + y_1) + a_{1,2} (x_1 + y_1) + \dots + a_{1,k} (x_k + y_k)\\
  \vdots\\
  a_{k,1} (x_1 + y_1) + a_{k,2} (x_1 + y_1) + \dots + a_{k,k} (x_k + y_k)
 \end{pmatrix}\\
 &= \begin{pmatrix}
  a_{1,1} x_1 + a_{1,1} y_1 + a_{1,2} x_1 + a_{1,2} y_1 + \dots + a_{1,k} x_k + a_{1,k} y_k\\
  \vdots\\
  a_{k,1} x_1 + a_{k,1} y_1 + a_{k,2} x_1 + a_{k,2} y_1 + \dots + a_{k,k} x_k + a_{k,k} y_k\\
 \end{pmatrix}\\
 &= \begin{pmatrix}
  a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_1 + \dots + a_{1,k} x_k\\
  \vdots\\
  a_{k,1} x_1 + a_{k,2} x_1 + \dots + a_{k,k} x_k\\
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
  a_{1,1} y_1 + a_{1,2} y_1 + \dots + a_{1,k} y_k\\
  \vdots\\
  a_{k,1} y_1 + a_{k,2} y_1 + \dots + a_{k,k} y_k\\
 \end{pmatrix}\\
 &= A  \begin{pmatrix}
  x_1\\
  x_2\\
  \vdots\\
  x_k
 \end{pmatrix}
 +
 A  \begin{pmatrix}
  y_1\\
  y_2\\
  \vdots\\
  y_k
 \end{pmatrix}
 = \varphi (x) + \varphi (y)
\end{align*}

\(f\) ist bijektiv, wenn die Matrix \(A\) invertierbar ist.

\item
\(G = (\Z,+)\) und \((H,\cdot)\) ist eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung \(m\), die von \(h \in H\) erzeugt wird.
Folgend wird gezeigt, dass \(\varphi : x \mapsto h^x\) ein surjektiver Homomorphismus ist.

Es gilt entsprechend den Potenzgesetzen/-rechenregeln bei multiplikativen Gruppen
\begin{align*}
 \varphi \left( x_1 + x_2 \right)
 &= h^{x_1 + x_2}\\
 &= h^{x_1} \cdot h^{x_2}\\
 &= \varphi \left( x_1 \right) \cdot \varphi \left( x_2 \right)
\end{align*}

Der Homomorphismus ist surjektiv, da
\[
 H = \{ z : z = \varphi \left( x \right) = h^x \;\; \text{mit} \;\; 0 \le x < m   \}
\]
\(H\) ist eine endliche, zyklische Gruppe und \(h\) als Erzeuger spannt die gesamte Gruppe mit ihren \(m\) Elementen auf.

Als Beispiel der Surjektivität seien hier für \(H = (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*\) und das erzeugende Element \(h = 3 + 7\mathbb{Z}\)
die Werte \(\varphi \left( x \right), \: 0 \le x < 7\) gegeben:

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l||l|}
\hline
\(x\) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\(\varphi \left( x \right) \mod 7\) & \(3^0 \equiv 1\) & \(3^1 \equiv 3\) & \(3^2 \equiv 2\) & \(3^3 \equiv 6\) & \(3^4 \equiv 4\) & \(3^5 \equiv 5\)& \(3^6 \equiv 1\) \\
\hline
\end{tabular}


\item
\(G = (\Z_m,+)\) und \((H,\cdot)\), \(\varphi\) ein surjektiver Homomorphismus wie eben.

Da \(\varphi\) surjektiv ist und \(|G| = |H| = m\) gilt, muss \(\varphi\) auch injektiv sein. Damit ist \(\varphi\) bijektiv.

\end{enumerate}